题目

已知点A(0,2)和圆C（x-6）^2+(y-4)^2=36/25,一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射.
1、求这条光线从A点到切点所经过的路程
2、求入射光线的方程

提问时间：2020-12-06

答案

设与圆C关于x轴对称的圆为D,其方程为：
（x-6）^2+(y+4)^2=36/25.
由A点做这圆的两条切线,
切点分别为E,F.则直线AE,AF即为入射光线所在直线,而|AE|,|AF|即为光线所经路程.
求得：
|AE|^2=|AF|^2=[(0-6)^2+(2+4)^2]-(36/25)
=(36*49)/25=（42/5)^2.
即|AE|=|AF|=42/5.
此即从A点到圆C的切点的路程.
设切线(入射线)方程为：
y=kx+2, 或 kx-y+2=0
则圆D的圆心(6,-4)到这直线的距离为r=6/5
即有|k*6-(-4)+2|/根号(k^2+1)=6/5
即： |k*6-(-4)+2|＝根号(k^2+1)*(6/5)
两端平方：（k*6+6)^2=(k^2+1)*36/25
整理得:24k^2+50k+24=0
解得k1=-4/3, k2=-3/4.
故入射线方程为:y=(-4/3)x+2,
或 y=(-3/4)x+2