题目

若函数f（x）,g（x）分别是R上的奇函数和偶函数,且满足f（x）-g（x）=e^x
(1)记t（x）=f（x）/g(x),则t（1）等与多少?
（2）记m（x）=-f(x)*g(x),x属于【1/2,正无穷大）则m（x）的值域?

提问时间：2020-12-05

答案

f(x)-g(x)=e^x
f(-x)-g(-x)=e^(-x),即有-f(x)-g(x)=e^(-x)
故有g(x)=-(e^x+e^(-x))/2,f(x)=(e^x-e^(-x))/2
(1)t(x)=f(x)/g(x)=(e^x-e^(-x)/(-e^x-e^(-x))
t(1)=(e-1/e)/(-e-1/e)=(e^2-1)/(-e^2-1)
(2)m(x)=f(x)*g(x)=-(e^2x-e^(-2x))/4
由于m(x)在R上是单调减的,故有最大值是m(1/2)=-(e-1/e)/4=(1/e-e)/4=(1-e^2)/(4e)
故值域是(-无穷,(1-e^2)/(4e)]