题目

已知函数f(x)=1/2x²-(a+1) x+a ln x+4 (a>0)
(1)求函数f(x)的单调减区间
(2)当a=2时,函数y=f(x)在[e^n,+∞) (n∈Z)有零点,求n的最大值.
1/2是x²的系数

提问时间：2020-12-05

答案

f(x)的定义域为x∈(0,+∞)
f´(x)=x-(a+1)+a/x,令f´(x)=0,即x²-(a+1)x+a=0,亦即(x-a)(x-1)=0
第1问
（1）当a=1时,两驻点重合,
f´(x)=x-2+1/x=(√x-1/√x)²≥0（当且仅当x=1时,“=”成立）,
所以函数在整个定义域内单调增加；
（2）当a＜1时,f´(x)=x-(a+1)+a/x=(x-a)(x-1)/x,
f(x)在(0,a)∪(1,+∞)单调增加,在（a,1）单调减少；
（3）当a＞1时,f´(x)=x-(a+1)+a/x=(x-a)(x-1)/x,
f(x)在(0,1)∪(a,+∞)单调增加,在（1,a）单调减少；
第2问
当a=2时,y=f(x)=1/2x²-3x+2lnx+4,f´(x)=(x-2)(x-1)/x
由1.之（3）知,f(x)在(0,1)∪(2,+∞)单调增加,在（1,2）单调减少；
极大值f(1)=3/2,极小值f(2)=2ln2,所以f(x)有唯一零点在（0,1）内,
所以e^n＜1,n＜ln1=0,所以n的最大值是-1.