题目

在平面直角坐标系中,点A（0,4）B（3,4）C（6,0）,动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在Y 轴上向下运动
动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动,过点P作RP垂直与y轴,交OB于R,连接RQ.当点P与点O重合时,两动点均停止运动.设运动的时间为t秒.（1）若t=1时,求点R的坐标；（2）当3提问时间：2020-12-05

答案

（1）∵A（0,4）,B（3,4）,
∴AB⊥y轴,AB=3．
∵RP⊥y轴,
∴∠OPR=∠OAB=90°．
又∠POR=∠AOB,
∴△OPR∽△OAB,
∴$frac{OP}{OA}=frac{PR}{AB}$．
当t=1时,AP=1,OP=3,
∴$frac{3}{4}=frac{PR}{3}$,
∴$PR=frac{9}{4}$．
∵R的纵坐标等于OP的长,
∴点R的坐标为（$frac{9}{4}$,3）．
（2）如图,过点B作BD⊥x轴于点D,则D（3,0）
在△BOC中,
∵OD=DC=3,且BD⊥OC,
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB,
∴$frac{OR}{OB}=frac{OP}{OA}$,
∵在Rt△OBD中,$OB=sqrt{O{D^2}+B{D^2}}=5$
∴$frac{OR}{5}=frac{4-t}{4}$,
∴$OR=frac{20-5t}{4}$．
由题意得,AP=t,CQ=2t（0≤t≤4）．
分三种情况讨论：
①当0≤t＜3时,即点Q从点C运动到点O（不与O重合）时,
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x轴,
∴∠BOC=∠ABO,∠BAC=∠ACO,
∵∠ABO＜ABC,∠BCO＞∠ACO,
∴∠BOC＜ABC,∠BOC＞∠BAC,
∴当0≤t＜3时,△ORQ与△ABC不可能相似．
②当t=3时,点Q与O重合时,△ORQ变成线段OR,故不可能与△ABC相似．
③如图,当3＜t≤4时,即点Q从原点O向左运动时,
∵BD∥y轴
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC,BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC9
当$frac{OQ}{OR}=frac{AB}{BC}$时,
∵OQ=2t-6,
∴$frac{2t-6}{{frac{20-5t}{4}}}=frac{3}{5}$,
∴$t=frac{36}{11}$．
当$frac{OQ}{OR}=frac{BC}{AB}$时,
同理可求得$t=frac{172}{49}$．
经检验$t=frac{36}{11}$和$t=frac{172}{49}$均在3＜t≤4内,
∴所有满足要求的t的值为$frac{36}{11}$和$frac{172}{49}$．