题目
V是数域P上n维线性空间,A和B是V上线性变换A^2=0,B^2=0,AB+BA=E,证明V只能是偶数维
提问时间:2020-12-05
答案
AB+BA=E
左乘A
AAB+ABA=A
又AA=0
则ABA=A
同理BAB=B
Aa=ABAa Aa为AB特征值1的特征向量
Ba=0ABBa Ba为AB特征值0的特征向量
即对任意a,Aa不等于Ba
则r(A)+r(B)小于等于n
又AB+BA=E
则r(A)+r(B)大于等于n
r(A)+r(B)等于n
若r(A) 则应有b=Bb 与B^2=0矛盾
则r(A)=r(B)=n/2
证毕
举个例子n=2
A(a,b)=(0,a)
B(a,b)=(b,0)
AA=BB=0
AB+BA=E
左乘A
AAB+ABA=A
又AA=0
则ABA=A
同理BAB=B
Aa=ABAa Aa为AB特征值1的特征向量
Ba=0ABBa Ba为AB特征值0的特征向量
即对任意a,Aa不等于Ba
则r(A)+r(B)小于等于n
又AB+BA=E
则r(A)+r(B)大于等于n
r(A)+r(B)等于n
若r(A)
则r(A)=r(B)=n/2
证毕
举个例子n=2
A(a,b)=(0,a)
B(a,b)=(b,0)
AA=BB=0
AB+BA=E
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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