题目

求原点到曲面(x-y)^2-z^2=1的最短距离.
假如说点(x0,y0,z0)是曲面(x-y)^2-z^2=1上离原点最近的点,那么它们的距离可以表示为
f(x0,y0,z0)=(x0^2+y0^2+z0^2)^(1/2)
也就是要求这个距离在条件(x0-y0)^2-z0^2=1下的最小值,是这样理解的吗?
构造辅助函数:F(x0,y0,z0)=(x0^2+y0^2+z0^2)^(1/2)+к[(x0-y0)^2-z0^2-1]
然后用拉格狼日乘数法求解,但是我求不出来结果啊,

提问时间：2020-12-05

答案

貌似是根号2/2
思路是对的呀
分别对x,y,z偏导
得
x/根号(x^2+y^2+z^2)+2к(x-y)=0
y/根号(x^2+y^2+z^2)-2к(x-y)=0
z/根号x^2+y^2+z^2+2кz=0
(x-y)^2-z^2=1
得x=-y z=0 即x=1/2 y=-1/2 z=0
此时距离为根号2/2