题目

已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n-n²，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

提问时间：2020-12-04

答案

当n=1时，a₁=S₁=12-1²=11；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n．
∵n=1时适合上式，
∴{a_n}的通项公式为a_n=13-2n．
由a_n=13-2n≥0，得n≤

13

2

，
即当 1≤n≤6（n∈N^*）时，a_n＞0；当n≥7时，a_n＜0．
（1）当 1≤n≤6（n∈N^*）时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=12n-n²．
（2）当n≥7（n∈N^*）时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+a₈+…+a_n）=-（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₁+…+a₆）
=-S_n+2S₆=n²-12n+72．
∴T_n=

12n−n2 n2−12n+72

(1≤n≤6，n∈，*)， (n≥7，n∈，*).

．

由S_n=12n-n²知S_n是关于n的无常数项的二次函数（n∈N^*），可知{a_n}为等差数列，求出a_n，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，然后求解T_n．

本题考点：数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评：本题考查数列前n项和与通项公式的应用，考查转化思想与计算能力．