题目

设ab≠0，且函数f₁（x）=x²+2ax+4b与f₂（x）=x²+4ax+2b有相同的最小值u；函数f₃（x）=-x²+2bx+4a与f₄（x）=-x²+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（　　）
A. 必为正数
B. 必为负数
C. 必为0
D. 符号不能确定

提问时间：2020-12-04

答案

∵f₁（x）=x²+2ax+4b=（x+a）²+4b-a²≥4b-a²，
f₂（x）=x²+4ax+2b=（x+2a）²+2b-4a²≥2b-4a²，
已知4b-a²=u=2b-4a²，得-2b=3a²①
∵ab≠0，
∴b＜0，
又∵f₃（x）=-（x-b）²+4a+b²≤4a+b²，
f₄（x）=-（x-2b）²+2a+4b²≤2a+4b²；
已知4a+b²=v=2a+4b²，得2a=3b²，②
∵ab≠0，
∴a＞0，
∴3a-3b+2＞0，
∴②-①得，2（a+b）=3（b²-a²），
解得a+b=0或b−a＝

2

3

（舍去），
当a+b=0时，2（u+v）=（6b-5a²）+（6a+5b²）=（a+b）[6+5（b-a）]=0，
∴u+v=0，
故选C．