题目

已知二元一次方程X^2+mnX+(m+n)=0 (m、n为正整数) 有两个整数解a、b.求符合条件的m、n的对数

提问时间：2020-12-04

答案

由韦达定理,得：
a+b=-mn
ab=m+n
由题意知：m+n为正整数,表明a、b同号；而-mn为负整数,则再说明a、b同为负整数.
若m、n≥2,则必有m+n≤mn,
ab≤-(a+b)
ab+a+b≤0
a(b+1)+(b+1)≤1
(a+1)(b+1)≤1
由上可知,a、b同为负整数,即：a、b的值可能为：-1、-2、-3、···等等；
由于a、b地位相同,所以只考虑
1、当a=-1时,有：
-1+b=-mn··········①
-b=m+n··········②
①+②,得：
-1=m+n-mn
mn-m-n=1
(m-1)(n-1)=2
由于m、n为正整数,不考虑主次,必有：
m-1=1
n-1=2
m=2,n=3；此时的b=-5；
2、当a=-2时,有：
-2+b=-mn··········③
-2b=m+n··········④
③×2+④,得：
-4=m+n-2mn
2mn-m-n=4
(2m-1)(2n-1)=9
由于m、n为正整数,不考虑主次,必有：
2m-1=1
2n-1=9
m=1,n=5；此时的b=-3；
和：
2m-1=3
2n-1=3
m=2,n=2；此时的b=-2
3、当a=-3时,由上知b=-2；当a=-4、-5、-6···等等时,要使(a+1)(b+1)≤1成立,只能是b=-1,但b=-1时,由上知a=-5.
综上,符合要求的m、n对数有3对：
(2,3)、(1,5)、(2,2)