题目

如图，△ABC内接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．

（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB=

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，求PA的长．

提问时间：2020-12-04

答案

（1）当BD=AC=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴PB=PC．∴PB=PC．又∵∠PBD=∠PCA（圆周角定理），∴当BD=AC=4，△PBD≌△PCA．∴PA=PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作P...

（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；
（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．

本题考点：圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；垂径定理．

考点点评：综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．