题目

在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,将一个直角的顶点P放置于对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边与BC和DC得延长线分别交于点E.Q
1.若CE=CQ,求AP的长、
2.比例式PE/PB=CQ/BC是否可能成立.如果可能,就出AP的长,如果不可能,请说明理由

提问时间：2020-12-04

答案

⑴在RTΔCEQ中,CE=CQ,∴∠Q=∠CEQ=45°,∴∠PEB=∠CEQ=45°,
∵BP⊥PQ,∴∠PBE=45°,
∵ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴∠ABP=45°,
∴ΔABP是等腰直角三角形,∴AP=AB÷√2=3√2/2.
⑵∵∠BPQ=∠BCQ=90°,
∴P、B、Q、C四点共圆,
∴∠PBC=∠Q,
∵PE/PB=CQ/BC,∴RTΔPBE∽RTΔCBQ,∴∠PBC=∠CBQ,
∴PC=CQ(相等的圆周角所对的弦相等),
∴∠CPE=∠CBP,
∵∠BPQ=90°,∴∠APB+∠CPE=90°,
∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,
∴∠ABP=∠APB,
∴AP=AB=3.