题目

如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于______．

提问时间：2020-12-04

答案

过B作BD∥AC，且BD=AC；
所以ADBC为矩形
且∠PBD（或其补角）即为所求．
因为PA=AC=BC=a
∴AD=a；BD=a
∵PA⊥平面ABC
∴PD=

PA2+AD 2

=

2

a；
又因为PA⊥DB，DB⊥AD⇒DB⊥平面PAD⇒BD⊥PD．
在RT△PDB中，tan∠PBD=

2 a

a

=

2

．
即异面直线PB与AC所成的角的正切值等于

2

．
故答案为：

2

．

先过B作BD∥AC，且BD=AC得到下底面为矩形，把问题转化为求∠PBD；然后通过PA⊥DB，DB⊥AD证得DB⊥平面PAD，进而求出BD，PA；在RT△PDB中，求出∠PBD的正切值即可．

本题考点：异面直线及其所成的角．

考点点评：本题主要考察异面直线及其所成的角．解决本题的关键在于通过过B作BD∥AC，把问题转化为求∠PBD．