题目

实系数方程f（x）=x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：
（1）

b−2

a−1

的值域；
（2）（a-1）²+（b-2）²的值域；
（3）a+b-3的值域．

提问时间：2020-12-04

答案

由题意知

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，则其约束条件为：

b＞0 1+a+2b＜0 2+a+b＞0

∴其可行域是由A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0）构成的三角形．
∴（a，b）活动区域是三角形ABC中，
（1）令k=

b−2

a−1

，则表达式

b−2

a−1

表示过（a，b）和（1，2）的直线的斜率，
∴斜率kmax＝

2−0

1+1

＝1，kmin＝

2−1

1+3

＝

1

4

故答案为：（

1

4

，1）
（2）令p=（a-1）²+（b-2）²
则表达式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距离的平方，
∴距离的平方p_max=（-3-1）²+（1-2）²=17，p_min=（-1-1）²+（0-2）²=8
∴答案为：（8，17）．
（3）令z=a+b+3，即要求目标函数z的最值，则只需求函数b=-a+（z+3）截距的最值，
在直角坐标系中，把b=-a图象上或下推动|z+3|个单位即可得到b=-a+（z+3）的图象，
∴z_max=-1+0-3=-4，z_min=-3+1-3=-5
故答案为：（-5，-4）

先利用所给的条件得到实系数方程f（x）=x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内得到关于（a，b）的约束条件
（1）表达式

b−2

a−1

表示过（a，b）和（1，2）的直线的斜率；
（2）表达式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距离的平方；
（3）表达式z=a+b-3代表是求目标函数的最值，可以转化求函数b=-a+（z+3）截距的最值．

本题考点：函数的值域；二元一次不等式（组）与平面区域．

考点点评：如果从单纯的代数角度解决本题，难度很大，基本上是无从下手．若能根据表达式的形式或代表的意义联想到其对应的几何图形，则解决问题就可以取得事半功倍的效果．
斜率的表达形式：k＝

d−b

c−a

，
两点间距离的表达形式：|AB|=

(d−b)2+(c−a)2