题目

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若

AF

＝2

FB

，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

提问时间：2020-12-04

答案

（本小题满分13分）
（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．            …（1分）
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y²-4my-4=0． …（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①…（4分）
因为 

AF

＝2

FB

，
所以 y₁=-2y₂．    ②…（5分）
联立①和②，消去y₁，y₂，得m＝±

2

4

． …（6分）
所以直线AB的斜率是±2

2

．     …（7分）
（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S_△AOB．                     …（9分）
因为 2S△AOB＝2×

1

2

•|OF|•|y1−y2|…（10分）
=

(y1+y2)2−4y1y2

＝4

1+m2

，…（12分）
所以 m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．      …（13分）

（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y²-4my-4=0．由此能够求出直线AB的斜率．
（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S_△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．

考点点评：本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．