题目

复变函数积分,
由积分∫c dz/（z+2）的值,证明∫（从0到π）(1+2cost)/(5+4cost)dt=0 其中积分路线c为正向单位圆周|z|=1

提问时间：2020-12-04

答案

令exp(it)=z,则cos t=(z+1/z)/2
exp(it)*i*dt=dz,即dt=dz/(iz)
代入得：
原式=1/2* [∫（从0到2π）(1+2cost)/(5+4cost)dt]
=1/2*[∫c (z²+z+1)/(2z²+5z+2)*dz/(iz)]
=1/2*{1/(2i)*∫c [1/z+1/(z+2)-1/(z+1/2)]dz}
=1/(4i)*∫c [1/z+1/(z+2)-1/(z+1/2)]dz
而根据柯西积分定理和柯西积分公式,或者是留数定理
∵0,-1/2在单位圆内,而-2在单位圆外
∴可知∫c dz/(z+2)=0,而∫c dz/z=∫c dz/(z+1/2)=2πi
∴原式=1/(4i)*(2πi+0-2πi)=0
证毕!