题目
若二次函数f(x)=-x^2+bx+c在区间(2,+∞)上为减函数(-∞,2)上为增函数,其函数与x轴交于A、B两点,且|AB|=6,设g(x)为定义在R上是偶函数,当x>=0时,g(x)=f(x),写出g(x)的单调区间
提问时间:2020-12-03
答案
答:
f(x)=-x^2+bx+c在x>2是减函数,在x<2是增函数
所以:对称轴x=b/2=2
所以:b=4
f(x)=-x^2+4x+c=-(x-2)^2+c+4
与x轴交点满足|AB|=2√(c+4)=6
解得:c+4=9,c=5
所以:f(x)=-x^2+4x+5
g(x)是定义在R上的偶函数:g(-x)=g(x)
x>=0时,g(x)=f(x)=-x^2+4x+5
x<=0时,-x>=0,g(-x)=-x^2-4x+5=g(x)
所以:x<=0时,g(x)=-x^2-4x+5
所以:
x>=0时,g(x)=-x^2+4x+5开口向下,对称轴x=2
x<=0时,g(x)=-x^2-4x+5开口向下,对称轴x=-2
所以:
g(x)的单调递增区间为(-∞,-2)或者(0,2)
g(x)的单调递减区间为(-2,0)或者(2,+∞)
f(x)=-x^2+bx+c在x>2是减函数,在x<2是增函数
所以:对称轴x=b/2=2
所以:b=4
f(x)=-x^2+4x+c=-(x-2)^2+c+4
与x轴交点满足|AB|=2√(c+4)=6
解得:c+4=9,c=5
所以:f(x)=-x^2+4x+5
g(x)是定义在R上的偶函数:g(-x)=g(x)
x>=0时,g(x)=f(x)=-x^2+4x+5
x<=0时,-x>=0,g(-x)=-x^2-4x+5=g(x)
所以:x<=0时,g(x)=-x^2-4x+5
所以:
x>=0时,g(x)=-x^2+4x+5开口向下,对称轴x=2
x<=0时,g(x)=-x^2-4x+5开口向下,对称轴x=-2
所以:
g(x)的单调递增区间为(-∞,-2)或者(0,2)
g(x)的单调递减区间为(-2,0)或者(2,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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