题目

如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆交于点D，N为BC延长线上一点，ND交△ABC的外接圆于点M．求证：

（1）DB=DC；
（2）DC²=DM•DN．

提问时间：2020-12-03

答案

证明：（1）∵四点A、B、C、D共圆，∴∠EAD=∠BCD，∠DAC=∠DBC，
∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠DBC=∠BCD．
∴DB=DC．
（2）连接BM，CM．
则∠DBM=∠DCM，∠CBM=∠CDM，
∴∠N=∠BCD-∠CDM=∠DBC-∠CBM=∠DBM=∠DCM，
又∵∠CDM公用，
∴△CDM∽△NDC．
∴

CD

ND

=

DM

CD

，
∴DC²=DM•DN．