题目

已知函数f（x）=x²，x∈[-1，2]，g（x）=ax+2，x∈[-1，2]，若对任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立，则a的取值范围是______．

提问时间：2020-12-02

答案

若对任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可．
函数f（x）=x²，x∈[-1，2]的值域为[0，4]．
下求g（x）=ax+2的值域．
①当a=0时，g（x）=2为常数，不符合题意舍去；
②当a＞0时，g（x）的值域为[2-a，2+2a]，要使[0，4]⊆[2-a，2+2a]，
需

2−a≤0 2+2a≥4

，解得a≥2；
③当a＜0时，g（x）的值域为[2+2a，2-a]，要使[0，4]⊆[2+2a，2-a]，
需

2+2a≤0 2−a≥4

2+4a≤0 2−a≥4

，解得a≤-2；
综上，m的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

存在性问题：“若对任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立”，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．