题目

若复矩阵A与B可交换,即AB=BA,证明：A,B至少有一公共的特征向量

提问时间：2020-12-02

答案

首先不妨把语言转化为线性变换:取定一组基,以A,B为矩阵的线性变换仍记为A,B.
在复数域上,特征多项式一定有解,而每一特征值都有相应的特征向量.
任取A的一个特征值λ,考虑A的属于λ的特征子空间W(即AX = λX的解空间,可知W ≠ 0).
对任意X∈W,有A(BX) = B(AX) = λBX,于是BX∈W,即有W为B的不变子空间.
考虑B在W上的限制,作为复数域上线性空间中的线性变换必有特征值与相应的特征向量.
而这一特征向量在A的特征子空间W中,因此为A,B的公共特征向量.
如果不用线性变换的语言,就要把上面用到的B在W上的限制表现为分块矩阵.
不过还是作为线性变换更方便,所以具体的我就不写了.