题目

有一条密闭曲线,他周长一顶,那么它围成什么图像面积最大,

提问时间：2020-12-02

答案

一个点(r,a)相对于极坐标原点在平面内运动,围成一个封闭图形.对于它的轨迹中的一个微元dr(向量)=dr*i(向量)+rda*j(向量)(i、j分别是径向和切向单位向量).如果这个点存在径向运动,dr不为0,则对dr(向量)的曲线微分dl=[(dr)^2+(rda)^2]^0.5>rda,而dr(向量)和rda*j(向量)对应的面积都是1/2*r^2da.即在面积1/2*r^2da一定的情况下,对应的周长有径向运动的dr(向量)大于无径向运动的rda*j(向量),因此周长一定时,无径向运动围得的面积要大于有径向运动的,点在无径向运动时绕极点一周得到的图形就是圆.