题目

椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为跟号2^2,它与直线x+y+1=0交与A,B两点,OA垂直于OB,求椭圆方程

提问时间：2020-12-02

答案

题目可能为：椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为(√2)/2,它与直线x+y+1=0交与A,B两点,OA垂直于OB,求椭圆方程.
结论：椭圆方程x^2/(3/2)+y^2/(3/4)=1
由离心率为(√2)/2 则a^2=2b^2
可设椭圆方程：x^2/2+y^2=b^2
再设A(u,-u-1),B(v,-v-1)
由OA、OB垂直可得 uv+(-u-1)(-v-1)=0
即 2uv+(u+v)+1=0 (*)
由x^2/2+y^2=b^2 和x+y+1=0 联立消到y并化简得
3x^2+4x+2-2b^2=0 (b^2>1/3)
u、v是它的两根,有u+v=-4/3,uv=(2-2b^2)/3
将它们代入(*) :2.(2-2b^2)/3+(-4/3)+1=0
解得 b^2=3/4
所以 椭圆方程x^2/(3/2)+y^2/(3/4)=1
希望对你有点帮助!