题目

设n属于正整数,a1,a2……ak是大于1的正约数,则a1分之1+a2分之1+……+ak分之1=?
比如,n=6,则1/2+1/3+1/6=1,n=8128,同样等于1,但是n=12时,就不是1了.那么哪些n有=1的结论?

提问时间：2020-12-01

答案

这个说简单也简单,说难也难.
说它简单：当且仅当n是“完全数”时,其因子倒数之和为2.完全数的定义是：因子的和等于它自身的2倍.比如：6的因子：1、2、3、6,加起来为12.
说它难：到现在,完全数都有哪些也是个猜想.我不是学数学的,不清楚这些.
我只证明一下,因子倒数之和为2的是完全数.
假设a(1)、a(2)、……、a(k)是从小到大排序好的因子.那么,
n/a(1)=a(k)
n/a(2)=a(k-1)
n/a(3)=a(k-2)
...
n/a(k)=a(1)
把这些式子都加起来：
n/a(1) + n/a(2) + ... + n/a(k) = a(1)+a(2)+...+a(k)
上是左侧就是：n×（n的因子倒数之和）
右侧就是：n的因子之和
如果要求n的因子倒数之和为2,也就是上式=2n,也就是n的因子之和为2n,所以n是个“完全数”.