题目

根号（1+x平方）的积分怎么解

提问时间：2020-12-01

答案

令x＝tanα,则：√（1＋x^2）＝√［1＋（tanα）^2］＝1/cosα,　dx＝［1/（cosα）^2］dα.
sinα＝√｛（sinα）^2/［（sinα）^2＋（cosα）^2］｝＝√｛（tanα）^2/［1＋（tanα）^2｝
＝x/√（1＋x^2）,
∴原式＝∫｛（1/cosα）［1/（cosα）^2］｝dα
　　　＝∫［cosα/（cosα）^4］dα
　　　＝∫｛1/［1－（sinα）^2］^2｝d（sinα）.
再令sinα＝u,则：
原式＝∫［1/（1－u^2）^2］du
　　＝（1/4）∫［（1＋u＋1－u）^2/（1－u^2）^2］du
　　＝（1/4）∫［（1＋u）^2/（1－u^2）^2］du＋（1/2）∫［（1－u^2）/（1－u^2）^2］du
　　　＋（1/4）∫［（1－u）^2/（1－u^2）^2］du
　　＝（1/4）∫［1/（1－u）^2］du＋（1/2）∫［1/（1－u^2）］du＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］du
　　＝－（1/4）∫［1/（1－u）^2］d（1－u）＋（1/4）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du
　　　＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］d（1＋u）
　　＝（1/4）［1/（1－u）］－（1/4）［1/（1＋u）］＋（1/4）∫［1/（1－u）］du
　　　＋（1/4）∫［1/（1＋u）］du
　　＝（1/4）［1/（1－sinα）］－（1/4）［1/（1＋sinα）］
　　　－（1/4）∫［1/（1－u）］d（1－u）＋（1/4）∫［1/（1＋u）］d（1＋u）
　　＝（1/4）｛1/［1－x/√（1＋x^2）］｝－（1/4）｛1/［1＋x/√（1＋x^2）］｝
　　　－（1/4）ln｜1－u｜＋（1/4）ln｜1＋u｜＋C
　　＝（1/4）［1＋x/√（1＋x^2）－1＋x/√（1＋x^2）］/［1－x^2/（1＋x^2）］
　　　＋（1/4）ln｜1＋sinα｜－（1/4）ln｜1－sinα｜＋C
　　＝（1/4）［2x/√（1＋x^2）］/［（1＋x^2－x^2）/（1＋x^2）］
　　　＋（1/4）ln［｜1＋x/√（1＋x^2）｜/｜1－x/√（1＋x^2）｜］＋C
　　＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］/［√（1＋x^2）－x］｜＋C
　　＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］^2/（1＋x^2－x^2）｜＋C
　　＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/2）ln｜x＋√（1＋x^2）｜＋C