题目

已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0)B(0,3)c(cosa,sina),a∈（90°,270°）
1.若向量AC=向量BC,求角a
2.若向量AC*向量BC=-1,求（2sin²+sin2a）/1+tana

提问时间：2020-11-30

答案

1、C点可明显得知在以（0,0）为圆心,1为半径的圆左侧
向量AC不可能等于向量BC,因为向量相等时,必须保证同向C点必须在线AB上
所以只可能：向量AC的模=向量BC的模
C点即为AB的垂直平分线与左半圆交点
AB垂直平分线斜率为：1,垂直平分线且过点（3/2,3/2）,垂直平分线为y=x
C点满足x^2+y^2 =1和y=x,a∈（90°,270°）
即a=225°
2、根据向量AC*向量BC=-1
(cosa-3,sina)*(cosa,sina-3) =-1
cosa*cosa -3cosa+sina*sina-3sina =-1
cosa+sina =2/3
可得C( (2+sqrt14)/6 ,(2-sqrt14)/6 ) （舍）sqrt为根号
或（(2-sqrt14)/6 ,(2+sqrt14)/6）（成立）
sin2a =2cosa*sina =(cosa+sina)^2 -1=-5/9
tana =(2+sqrt14)/(2-sqrt14)
2sin²a =2*((2+sqrt14)/6)^2 =1 + 2*sqrt14/9
（2sin²a+sin2a）/(1+tana) =2*(2+sqrt14)*(2-sqrt14)/36
=-5/9
简便方法：（2sin²a+sin2a）/(1+tana) 化简
（2sin²a+sin2a）/(1+tana)
=2（sina*sina+sina*cosa)*cosa/(sina+cosa)
=2(sina+cosa)sina*cosa/(sina+cosa)
=2sina*cosa
=-5/9
可不用算具体的sina,cosa值