题目

已知bn=1/n,Tn为数列bn前n项和.试问是否存在关于n的整式g(n)使得T1+T2+...+Tn-1=(Tn -1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在求出gn的解析式

提问时间：2020-11-30

答案

T2=1+1/2=3/2 T1=1 T2-1=1/2 g(2)=2
T3=1+1/2+1/3=11/6 T1+T2=5/2 T3-1=5/6 g(3)=3
猜想g(n)=n
证明：1）当n=2时,已证；
2）当n≥2时,假设n=k时等式成立,即
T1+T2+…+T(k-1)=(Tk-1)k
则当n=k+1时
T1+T2+…+T(k-1)+Tk=(Tk-1)k+Tk=(1+k)Tk -k
=(1+k)(T(k+1)-1/(k+1))-k
=(1+k)T(k+1)-k-1
=(T(k+1)-1)(k+1)
等式也成立
综上(1)(2)可得g(n)=n