题目

圆内接三角形的最大面积如何求?请写出推导过程

提问时间：2020-11-29

答案

三角形的面积由底边和高两个因素决定,不管底边所在弦有多少,
但其高只有经过圆心的为最大,
故毫无质疑必须是等腰三角形.
设等腰三角形ABC,高AH,圆心O,AO=BO=R,OH=AH-AO,设高为x,
BH=√[R^2-(x-R)^2]=√（2Rx-x^2),
∴S=x√（2Rx-x^2),
dS/dx=√（2Rx-x^2)+(1/2)*(2Rx-x^2)^(-1/2)*(2R-2x)*x=(2Rx-x^2+Rx-x^2)/√（2Rx-x^2)=0,
2x^2-3Rx=0,
x=3R/2,根据实际问题,该驻点有极大值,
即当x=3R/2时有最大面积,而高AH=3R/2,正是正三角形,
∴当圆内接正三角形时具有最大面积.