题目

收敛数列与其子数列之间的关系
设数列{Xnk}是数列{Xn}的任一子数列
由于{Xn}的极限是a,所以任意ε>,0,存在正整数N,当n>N时|Xn-a|=N于是|Xnk-a|=N于是|Xnk-a|

提问时间：2020-11-29

答案

子列{Xnk}的下标nk(k是n的下标)一方面代表原数列{Xn}的第nk项,另一方面也表示子列的第k项.我们需要找到正整数K,使得k＞K时,恒有|Xnk-a|＜ε成立.既然Xnk还是{Xn}的第nk项,所以事先我们就知道存在正整数N,只要nk＞N就会有|Xnk-a|＜ε.那么只要能够保证k＞K时nk＞N也成立不就得到|Xnk-a|＜ε了嘛.
根据子列的项的选择方法,nk≥k,所以k＞K时,nk＞nK≥K,那么让K≥N即可.所以选择正整数K≥N,当k＞K时,有nk＞N,所以|Xnk-a|＜ε.