题目

求一道概率论的题…
设随机变量X,Y独立同分布,且P(X=1)=P(X=-1)=1/2,定义Z=XY,证明X,Y,Z两两独立,但不相互独立……谢谢了……怎么证明啊

提问时间：2020-11-28

答案

已知XY独立同分布,
所以P(Z=1)=P(XY=1)
=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)
=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)
=1/2*1/2+1/2*1/2
=1/2
P(Z=-1)=P(XY=-1)
=P(X=1,Y=-1)+P(X=-1,Y=1)
=P(X=1)P(Y=-1)+P(X=-1)P(Y=1)
=1/2*1/2+1/2*1/2
=1/2
P(X=1,Z=1)
=P(X=1,XY=1)
=P(X=1,Y=1)
=P(X=1)P(Y=1)
=1/2*1/2
=P(X=1)P(Z=1)
同理,有
P(X=1,Z=-1)=P(X=1)P(Z=-1)
P(X=-1,Z=-1)=P(X=-1)P(Z=-1)
P(X=1,Z=-1)=P(X=1)P(Z=-1)
P(Y=1,Z=1)=P(Y=1)P(Z=1)
P(Y=1,Z=-1)=P(Y=1)P(Z=-1)
P(Y=-1,Z=-1)=P(Y=-1)P(Z=-1)
P(Y=1,Z=-1)=P(Y=1)P(Z=-1)
所以X,Y,Z两两独立.
又因为
P(X=1,Y=1,Z=-1)
=P(X=1,Y=1,XY=-1)
=0
≠P(X=1)P(Y=1)P(Z=-1)
所以X,Y,Z不是相互独立.
哪里不懂不对的可以问我.