题目

直线l与抛物线y^2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于M,若y1*y2=-1
求证(1)M的坐标(1,0)
(2)OA垂直OB
(3)求△AOB的面积最小值

提问时间：2020-11-28

答案

证明：（1）设直线l的方程为x=ay+b ∵A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y^2=x上 ∴x1=y1^2,x2=y2^2
∵A,B也在直线l上 ∴x1=y1^2=ay1+b,x2=y2^2=ay2+b
∴可得方程组y1^2-ay1-b=0 ∴y1,y2是方程y^2-ay-b=0的两个根
y2^2-ay2-b=0
∴y1+y2=a,y1*y2=-b
∵y1*y2=-1 ∴b=1 ∴直线l的方程为x=ay+1
∵l与x轴交于点M ∴令y=0,此时x=1 ∴M的坐标为（1,0）,得证
（2）∵向量OA=(y1^2,y1),向量OB=（y2^2,y2)
∴向量OA*（此处应该用点乘符号,但我打不出来,抱歉）向量OB=y1^2*y2^2+y1*y2=(y1*y2)^2+y1*y2
∵y1*y2=-1 ∴向量OA*向量OB=（-1）^2+(-1)=1-1=0
∴向量OA⊥向量OB ∴OA⊥OB,得证
（3）S△AOB=S△AOM+S△BOM=(1/2)*OM*｜y1｜+(1/2)*OM*｜y2｜=(1/2)*1*(｜y1｜+｜y2｜)=(1/2)*(｜y1｜+｜y2｜)
∵y1*y2=-1 ∴y1,y2异号 ∴｜y1｜+｜y2｜=｜y1-y2｜
∵｜y1-y2｜=√(y1+y2)^2-4y1*y2 且y1+y2=a,y1*y2=-1
↓
(这是根号,后面的式子都包括在里面,下同）
∴｜y1-y2｜=√a^2+4 ∴ S△AOB=(1/2)* √a^2+4
∵a∈R ∴a^2的最小值为0 ∴S△AOB的最小值=（1/2）*2=1