题目

一动圆过定点A（负根号下2,0）,且与定圆（X-根号下2）^2+Y^2=12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程
(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程；
(2)过点P（0,2）的直线于轨迹M交于不同两点E,F,求向量PE乘向量PF的取值范围.

提问时间：2020-11-28

答案

（1）由题意得,定圆（X-√2）^2+Y^2=12的圆心B（√2,0）,半径2√3,由于点A（-√2,0）与点B的距离2√2小于半径2√3,且根据题意动圆过点A且与定圆相切,所以只能是动圆在定圆中,设动圆的圆心O,点O到点A和点O到点B的距离和等于定圆的半径2√3,那么动圆的方程是
（x＾2）／3＋b＾2＝1（即椭圆方程）
（2）设过点P（0,2）直线x＝k（y－2）……（1）
椭圆曲线（x^2）/3＋b^2＝1……（2）
设点E（x1,y1）,F（x2,y2）
联立（1）（2）得
（k^2＋3）（y^2）－4（k^2）y＋（4k^2-3）＝0
△=16k^4-4（k^2＋3）（4k^2-3）>0,得k^2∈[0,1）
且y1+y2=4k^2/（k^2＋3）,y1?y2=（4k^2-3）/（k^2＋3）
向量PE=（x1,y1-2）=（k（y1-2）,y1-2）,向量PF=（k（y2-2）,y2-2）
PE?PF=（k^2＋1）（y1-2）（y2-2）=9（k^2＋1）/（k^2＋3）
=9-18/（k^2＋3）
由于k^2∈[0,1）,得9-18/（k^2＋3）∈[3,9/2）
即向量PE乘向量PF的取值范围[3,9/2）