题目
如图①,在等腰△ABC中,底边BC上有任意一点,过点P作PE⊥AC,PD⊥AB,垂足为D、E,再过C作CF⊥AB于点F;
(1)求证:PD+PE=CF;
(2)若点P在BC的延长线上,如图②,则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系,请写出你的猜想,并证明.
(1)求证:PD+PE=CF;
(2)若点P在BC的延长线上,如图②,则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系,请写出你的猜想,并证明.
提问时间:2020-11-27
答案
(1)证明:作PM⊥CF,
∵PD⊥AB,CF⊥AB,
∴∠FDP=∠DFM=∠FMP=90°,
∴四边形PDFM是矩形,
∴PD=FM.
∵PE⊥AC,且PM⊥CF,
∴∠PMC=∠CEP=90°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵AB⊥FC,PM⊥FC,
∴AB∥PM,
∴∠MPC=∠B,
∴∠MPC=∠ECP,
在△PCM和△CPE中,
∵
,
∴△PCM≌△CPE(AAS),
∴CM=PE,
∴PD+PE=FM+MC=CF;
(2)PD-PE=CF;
证明如下:
作CM⊥PD于M,同(1)得四边形CMDF是矩形,则CF=DM,
∴CM∥AB,∴∠MCP=∠B,
又∠ACB=∠ECP(对顶角相等),
且AB=AC得到∠B=∠ACB,
∴∠MCP=∠ECP,
又PE⊥AC,CM⊥PD,∴∠PMC=∠PEC=90°,
在△PCM和△PCE中,
∵
,
∴△PCM≌△PCE(AAS),
∴PM=PE,
∴PD-PE=PD-PM=DM=CF.
∵PD⊥AB,CF⊥AB,
∴∠FDP=∠DFM=∠FMP=90°,
∴四边形PDFM是矩形,
∴PD=FM.
∵PE⊥AC,且PM⊥CF,
∴∠PMC=∠CEP=90°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵AB⊥FC,PM⊥FC,
∴AB∥PM,
∴∠MPC=∠B,
∴∠MPC=∠ECP,
在△PCM和△CPE中,
∵
|
∴△PCM≌△CPE(AAS),
∴CM=PE,
∴PD+PE=FM+MC=CF;
(2)PD-PE=CF;
证明如下:
作CM⊥PD于M,同(1)得四边形CMDF是矩形,则CF=DM,
∴CM∥AB,∴∠MCP=∠B,
又∠ACB=∠ECP(对顶角相等),
且AB=AC得到∠B=∠ACB,
∴∠MCP=∠ECP,
又PE⊥AC,CM⊥PD,∴∠PMC=∠PEC=90°,
在△PCM和△PCE中,
∵
|
∴△PCM≌△PCE(AAS),
∴PM=PE,
∴PD-PE=PD-PM=DM=CF.
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(1)可以作PM⊥CF,构造了矩形和一对全等三角形;
(2)类比(1)中的结论,很容易得到猜想,再进一步证明就可.
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