题目

关于(sinx)^x的求导问题
在对y=(sinx)^x求导时,为什么用复合函数的思想,即把原函数写成y=u^x,u=sinx进行求导,得不到正确结果?
回复韦战:
我知道u不是常数,但用复合函数来求解这种问题,u本身就应该不是常数,要不然就可以直接用公式求啦,我不知道自己想得有没有错,请详细指出我的误区,分数可以追加,
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继续回复韦战:
那如果只用高中的方法来做这题,(除了把(sinx)^x写成e^xln sinx)
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回复Hilbert23 :
嗯,我知道我的误区是什么了.那用高中的方法怎样做,要求同上.

提问时间：2020-11-27

答案

u^x求导公式底数必须是常数
x^n同理指数必须是常数
所以两个公式皆不能用
y=(sinx)^x=e^(xln|sinx|)
再用复合函数求导
要不然就用取对数求导法
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复合函数求导
就是把复合函数拆成一系列简单函数
各自求导然后相乘
这个题外层函数y=u^x求导的时候也是要用基本公式的
而(a^x)'=(a^x)lna要求底数a是常数(公式后面有括号说明吧)
底数不是常数就不能用
而这个u=sinx本身不是常数
而是一个中间变量,变量...
所以不行
基本公式不能乱用哦~
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方法1
两边同时取以e为底的对数
lny=xlnsinx
两边同时对x求导数
含有y的把y看成关于x的函数,复合函数求导
(1/y)*y'=1*lnsinx+x*(1/sinx)*(sinx)'
化简即y'/y=lnsinx+xcotx
解出y'来,再把右边的y带入
y'=y*(lnsinx+xcotx)=(sinx)^x*(lnsinx+xcotx)
方法2
写成e^xlnsinx再求导(略)
也就这2种方法了吧