题目
已知:如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,连接BE、CE,∠BEC=90°.
(1)求证:BE平分∠ABC;
(2)若EC=4,且
=
,求四边形ABCE的面积.
(1)求证:BE平分∠ABC;
(2)若EC=4,且
BE |
AB |
3 |
提问时间:2020-11-26
答案
(1)证明:取BC的中点F,连接EF.
∵E、F分别是AD、BC的中点,四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥BF,即四边形ABFE为平行四边形.(1分)
又∵∠BEC=90°,F为BC的中点,
∴EF=
BC=BF.(2分)
∴四边形ABFE为菱形.(3分)
∴BE平分∠ABC.(4分)
(2)过点E作EH⊥BC,垂足为H.
∵四边形ABFE为菱形,
∴AB=BF=
BC.(5分)
∴BE=
AB,
∵
=
又∵∠BEC=90°,
∴∠BCE=60度.(6分)
∵BC=2EC=8,EH=EC•sin60°=4×
=2
.(8分)
∴S四边形ABCE=
(AE+BC)•EH=
(8+4)×2
=12
.(9分)
∵E、F分别是AD、BC的中点,四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥BF,即四边形ABFE为平行四边形.(1分)
又∵∠BEC=90°,F为BC的中点,
∴EF=
1 |
2 |
∴四边形ABFE为菱形.(3分)
∴BE平分∠ABC.(4分)
(2)过点E作EH⊥BC,垂足为H.
∵四边形ABFE为菱形,
∴AB=BF=
1 |
2 |
∴BE=
3 |
∵
BE |
BC |
| ||
2 |
又∵∠BEC=90°,
∴∠BCE=60度.(6分)
∵BC=2EC=8,EH=EC•sin60°=4×
| ||
2 |
3 |
∴S四边形ABCE=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
(1)取BC的中点F,连接EF,要证明BE平分∠ABC,只需证明四边形ABFE为菱形,因为AE和BF既平行又相等,可先证平行四边形,又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证EF=FB,即四边形ABFE为菱形,利用菱形的性质可知对角线平分对角,从而得出结论;
(2)由图象可知四边形ABCE为梯形,所以要求面积,必须求出上下底和高,而上下底和高都可利用题中已知条件,借助于三角函数来求出.
(2)由图象可知四边形ABCE为梯形,所以要求面积,必须求出上下底和高,而上下底和高都可利用题中已知条件,借助于三角函数来求出.
菱形的判定;平行四边形的性质;解直角三角形.
此题考查了菱形的判定以及三角函数的应用,考查比较全面,难易程度适中.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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