题目

证明：当x≠0时有不等式e^x＞1+x．

提问时间：2020-11-26

答案

【解法1】利用函数的单调性进行证明．
令f（x）=e^x-（1+x），
则f′（x）=e^x-1．
令f′（x）=0，求得x=0．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，0]上严格单调减少；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在[0，+∞）上严格单调增加；
从而，x≠0时，f（x）＞f（0）=0，
即：x≠0时e^x＞1+x．                           
【解法2】利用泰勒公式进行证明．
对于任意x≠0，利用泰勒公式可得，
e^x =1+x+ξ²，其中ξ在0到x之间，
从而，e^x ＞1+x．