题目

求下列函数的解析式:(1)已知f(x-1/x)=(x+1/x)的平方,求f(x)；（2）已知f（x+3）=x的平方-2x+3,求f（x）
（3）已知f（x）是二次函数,且满足f（0）=1,f（x+1）=f（x）+2x,求f（x）

提问时间：2020-11-26

答案

第一问用换元法,令t=(x-1)/x,得（t-1）x=-1,∴x=(-1/t-1)
∴f(t)=[(-1/t-1)+1]/(-1/t-1)的平方,解得f(t)=2-t,∴f(x)=-x+2.
f(x+3)=x的平方-2x+3,可以用换元法,也可以用配凑法.
先用换元法,令t=x+3得x=t-3,∴f(t)=(t-3)的平方-2（t-3）+3,整理得：f(t)=t^2-8t+18,
∴f(x)=x^2-8x+18.
或f(x+3)=(x+3)^2-8(x+3)+18,∴f(x)=x^2-8x+18.
第三问答案如下：用待定系数法做.
令f(x)=ax^2+bx+c,
因为f(0)=1,∴C=1,
又因为f(x+1)=f(x)+2x,∴a(x+1)^2+b(x+1)+1=ax^2+bx+1+2x.
解得：a= 1 ,b= -1 ,c=1.
∴f(x)=x^2-x+1