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题目
已知实数x、y满足x2+y2+2x-2
3
y=0,求x+y的最小值.

提问时间:2020-11-26

答案
原方程为(x+1)2+(y-
3
2=4表示一个圆的方程,
可设其参数方程为x=-1+2cosθ,y=
3
+2sinθ(θ为参数,0≤θ<2π),
则x+y=
3
-1+2(sinθ+cosθ)=
3
-1+2
2
sin(θ+
π
4
),
当θ=
4
,即x=-1-
2
,y=
3
-
2
时,
x+y的最小值为
3
-1-2
2
把圆的普通方程化为参数方程,利用两角和的正弦公式化简x+y可得x+y=
3
-1+2
2
sin(θ+
π
4
),再利用正弦函数的有界性求得x+y的最小值.

直线与圆的位置关系;同角三角函数基本关系的运用;圆的一般方程;圆的参数方程.

本题考查把参数方程化为普通方程的方法,以及两角和的正弦公式的应用,体现了转化的数学思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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