题目

函数 恒成立
已知定义域为R的函数y=f(X)满足f(x)+f(2-X)=2f(1),当x≥1时,f(X)=X+4/X,且当X∈[-2,-2]时,n≤f(X)≤m恒成立,则m-n的最小值是?

提问时间：2020-11-26

答案

1）当x≥1时,f(X)=X+4/X
得f(1)=5,f(2)=4,f(0)=2f(1)-f(2)=10-4=6
2）当x∈[-2,1]时,
(2-x)∈[1,4],满足条件当x≥1时,f(X)=X+4/X,则f(2-x)=2-x+4/(2-x)
由f(x)+f(2-X)=2f(1),得
f(x)=2f(1)-f(2-x)=10+(x-2)+4/(x-2)=8+x+4/(x-2),x∈[-2,1],
此时f(-2)=5,且f(1)=5,与1）中f(1)相等,可知在[-2,2]函数f(x)连续可导.——这句很有必要说明!
3）当x∈[1,2]时,对f(x)求导,得f'(x)=1-4/(x^2),令f'(x)=0,解得极值点x=2;
当x∈[-2,1]时,对f(x)求导,得f'(x)=1-4/[(x-2)^2],令f'(x)=0,解得极值点x=0;
因为在[-2,2]函数f(x)连续可导,且f(x)的极值和端点值分别为：
极值：f(2)=4,极值：f(0)=6
端点值：f(-2)=5,f(2)=4
所以f(x)在区间[-2,2]的最小值为f(2)=4,最大值为f(0)=6
4）因为当X∈[-2,-2]时,n≤f(X)≤m恒成立,则有
n≤f(X)最小≤f(X)≤f(X)最大≤m,即n≤f(X)最小=4,m≥f(X)最大=6 ——（n的最大值为4,m的最小值为6）
所以m-n的最小值=m（最小值）-n（最大值）=6-4=2