题目

已知函数Y=X+4/X (1)证明函数在(0,2)上的单调递减,在[2,+∞〕上单调递增
(2)判断函数的奇偶性

提问时间：2020-11-26

答案

（1）设x1 > x2,那么：
x1+4/x1 - (x2 + 4/x2)
=(x1-x2)+(4/x1-4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/x1*x2
=(x1-x2)(1-4/x1*x2)
因为x1-x2>0
而1-4/x1*x2
在(0,2)上是恒小于0的,所以原函数在此区间为单调递减；同理,在[2,+∞)上单调递增
（2）验证 (-x)+4/(-x) 与 x+4/x 的关系便可得知原函数的奇偶性,演算如下：
(-x)+4/(-x)
=-x - 4/x
=-(x+4/x)
所以,原函数为奇函数.