题目

已知正整数m，n都是质数，并且7m+n，mn+11也是质数，试求（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m的值．

提问时间：2020-11-26

答案

∵mn+11为质数，且mn+11＞11，
∴mn+11为奇质数，
故mn为偶数，又m，n为质数，所以m，n中至少有一个为2．（5分）
（1）当m=n=2时，mn+11=15不为质数，矛盾．（10分）
（2）当m=2，n≠2时，由n+14，2n+11均为质数可知n=3，
否则，当n=3k+1（k为正整数）时，n+14=3k+15=3（k+5）为合数，矛盾；
当n=3k+2时，2n+11=6k+15=3（2k+5）为合数，矛盾；
故n=3，此时，mn+11=17，7m+n=17均为质数，符合题意．（15分）
（3）当n=2时，mn+11=2m+11，7m+n=7m+2，它们均为质数，此时必有m=3，
否则令m=3k+1，mn+11=6k+12=6（k+2）为合数，矛盾；
令m=3k+2，7m+n=21k+9=3（7k+3）为合数，矛盾；
故m=3．（20分）
所以（m，n）=（2，3），（3，2）．
所以（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m=593．（25分）
故答案为：593．