题目

已知函数f（x）=loga[（a的x次方）-1]（a＞0且a≠1）
1、求函数f（x）的定义域
2、讨论函数f（x）的单调性
3、x为何值时,函数值大于1

提问时间：2020-11-25

答案

1、
根据题意：a^x-1＞0,即a^x＞1必成立
当0＜a＜1时,a^x＞1,解得：x＜0,即函数定义域为（-∞,0）
当a＞1时,a^x＞1,解得：x＞0,即函数定义域为（0,+∞）
2、判断单调性,也需要分类讨论
当0＜a＜1时,外函数logax是减函数,内函数1-a^x是增函数（因为a^x是减函数,前面增加负号,就是增函数） ,合起来就是减函数
因此,当0＜a＜1时,f(x)=loga(1-a^x)是减函数
当a＞1时,外函数logax是增函数,内函数1-a^x是增函数（因为a^x是增函数,前面增加负号,就是减函数） ,合起来就是减函数
因此,当a＞1时,f(x)=loga(1-a^x)是减函数
2、f(x)＞1,即loga（a^x-1）＞1
①当0＜a＜1时,0＜a^x-1＜a,1＜a^x＜1+a
所以loga（1+a）＜x＜0
②当a＞1时,a^x-1＞a,a^x＞1+a
即：x＞loga（1+a）
综上：当0＜a＜1,且loga（1+a）＜x＜0时,函数值大于1 ；
当a＞1,且x＞loga（1+a）时,函数值大于1