题目

1.已知点F（0,1）,直线l：y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量QP*QF-FP*FQ=0,动点P的轨迹为C,已知圆M过定点D（0,2）,圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于AB两点,设||DA|=L1,|DB|=L2,则L1/L2+L2/L1的最大值为 ( )
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π/2,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值 ( )
A．√5/5 B．1 C．2√5/5 D．3√5/5

提问时间：2020-11-25

答案

1
设 P(x,y), Q(x,-1)
∵QP*FQ-FP*FQ=0
∴(0,y+1)●(-x,2)-(x,y-1)●(x,-2)=0
∴2(y+1)-(x²-2y+2)=0
∴轨迹为C：x²=4y
设M（t,t²/4),|MD|²=t²+(2-t²/4)²
圆M:(x-t)²+(y+t²/4)²=t²+(2-t²/4)²
令y=0,得 （x-t)²=4,x=t±2
∴A(t-2,0),B(t+2,0)
l1=√(t²-4t+8),l2=√(t²+4t+8)
∴l1/l2+l2/l1=(l1²+l2²)/(l1l2)
=[(t²-4t+8)+ (t²+4t+8)]/ √[(t²+4t+8)(t²-4t+8)]
=(2t²+16)/√[(t²+8)²-16t²]
=(2t²+16)/√(t⁴+64 )
=2√[(t²+8)²/(t⁴+64)]
=2√[(t⁴+64+16t²)/(t⁴+64)]
=2√[1+16t²/(t⁴+64)]
=2√[1+16/(t²+64/t²)]
∵t²+64/t²≥2√64=16∴
∴1+16/(t²+64/t²)≤2
∴2√[1+16/(t²+64/t²)]≤2√2
选项B
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π/2,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值 ( )
A．√5/5 B．1 C．2√5/5 D．3√5/5
以A为原点,AB,AC,AA1为x,y,z轴j建立坐标系
D(0,y,0) F(x,0,0) ,G(1/2,0,1),E(0,1,1/2)
向量GD=(-1/2,y,-1), 向量EF=（x,-1,-1/2)
∵GD⊥EF ∴-x/2-y+1/2=0
∴y=1/2-x/2 (0|DF|²=x²+y²=x²+(1/2-x/2)²=5/4*x²-1/2x+1/4
=5/4(x²-2/5x)+1/4=5/4(x-1/5)²+1/5≥1/5
∴|DF|min=√5/5
答 A．√5/5