题目

积分表
求一个积分公式的推导过程
dx/(a^2+x^2)^n的积分

提问时间：2020-11-25

答案

当n>1时.
记Pn=∫dx/(a^2+x^2)^n,Pn-1=∫dx/(a^2+x^2)^(n-1),前者n-1为脚标.
Pn-1=∫dx/(a^2+x^2)^(n-1) 利用分部积分可得到：
=x/(a^2+x^2)^(n-1)-∫x*d[1/(a^2+x^2)^(n-1)]
=x/(a^2+x^2)^(n-1)-∫x*(1-n)*(a^2+x^2)^(-n)*2xdx
=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)∫x^2dx/(a^2+x^2)^n
=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)∫[1/(x^2+a^2)^n-a^2/(x^2+a^)^n]dx
=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)(Pn-1-a^2Pn)
可得到：
Pn-1=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)(Pn-1-a^2Pn)
pn=x/[2a^2(n-1)(x^2+a^2)^(n-1)]+(2n-3)pn-1/[2a^2(n-1)].