题目

2 定点M（1,4）的直线L在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小,求该直线方程.

提问时间：2020-11-25

答案

设直线方程为：y-4=k(x-1),即y=kx+4-k
则直线与x轴、y轴的交点分别为：[(k-4)/k,0]、(0,4-k)
由于直线 在第一象限内与坐标轴围成三角形,则有(k-4)/k>0,4-k>0,由此得：k<0
于是,所围成三角形的面积为：S=(1/2)* (k-4)/k*(4-k)= (1/2)*(-k-16/k+8)
由于-k-16/k＝(-k)+16/(-k)≥2√[(-k) 16/(-k)]=8
所以S≥(1/2)*(8+8)=8
即面积的最小值为8,此时不等式取等号,即有-k=-16/k,得k=-4
故直线方程为：y=-4x+8
对于求-k-16/k+8的最小值,也可用配平方来解决
-k-16/k+8＝(-k)-8+(-16/k)+16＝(√(-k)-√-16/k)^2+16≥16
取等号时(√(-k)-√-16/k)^2＝0,即k=-4