题目

已知x，y为正数，则

x

2x+y

+

y

x+2y

的最大值为______．

提问时间：2020-11-25

答案

令2x+y=a，x+2y=b，则

x＝ 2a−b 3 y＝ 2b−a 3

且a＞0，b＞0
∴

x

2x+y

+

y

x+2y

=

2a−b

3a

+

2b−a

3b

=

4

3

−(

b

3a

+

a

3b

)≤

4

3

−2

b 3a • a 3b

＝

2

3

当且仅当

b

3a

＝

a

3b

即a=b时取等号即最大值为

2

3

故答案为：

2

3

令2x+y=a，x+2y=b，则

x＝ 2a−b 3 y＝ 2b−a 3

且a＞0，b＞0，从而有

x

2x+y

+

y

x+2y

=

2a−b

3a

+

2b−a

3b

=

4

3

−(

b

3a

+

a

3b

)，利用基本不等式可求

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用换元法配凑基本不等式的应用条件