题目

求行星的自转周期（物理题）
某行星自转一周的时间T.=6h,若弹簧秤在其“赤道”上比在“两极”处测同一物体重量时,读数减少了10%,设想行星自转角速度加快到某一值时,在赤道上的物体会自动飘起来,这是该行星自转的周期多大?

提问时间：2020-11-25

答案

在两极处的重量Fg ＝ GMm／R^2,在赤道处的离心力Fc ＝ mv^2／R.这里G是万有引力常数,M是行星的质量,m是物体的质量,R是行星的半径,v是行星赤道处的自转速度.周期T,速度v,和半径R之间的关系为：T ＝ 2 Pi R／v,其中Pi ＝ 3.1415927为圆周率.
根据题意,赤道上统一物体的重量比两极少了10％,我们的到：Fg - Fc = (1-10%)Fg = 0.9Fg,即Fc = 0.1 Fg.又Fg 和Fc的表达式,我们发现：mv^2/R = 0.1 GMm/R^2.简化后得到：v^2/R = 0.1GM/R^2.0.1GM/R^2 = 4Pi^2/T^2.最后,GM/R^2 = 40Pi^2/T^2
当行星的旋转速度快到赤道上的物体飘起来时,物体在赤道上的重力Fg等于其离心力Fc'：Fg = Fc' = mu^2/R.这里,u是行星快速转动的速度.重复前面的公式推导,我么得到：GMm/R^2 = mu^2/R,即 GM/R^2 = u^2/R.40Pi^2/T^2 = u^2/R.设行星快速转动时的周期为t,则t = 2Pi R/u,u = 2Pi R/t.于是我们得到：GM/R^2 = 4Pi^2 R / t^2.
对比两个与GM/R^2相等的结果,我们发现：4Pi^2 R / t^2 = 40Pi^2 R / T^2.化简后之极得到：t = (T/10)^(1/2),将T ＝ 6小时代入,我们最后得到
t = 6 分钟.于是当物体在赤道周围飘起来时,行星的自转周期为6分钟.