题目

点P是等边△ABC内一点,且PA=2 PB=2倍根号3 PC=4 求△ABC的边长

提问时间：2020-11-24

答案

作∠PAD＝60°,且使D、P在AB的两侧.过A作AE⊥BP交BP的延长线于E.
∵△ABC是等边三角形,∴AB＝AC、∠BAC＝60°.
显然有：∠DAB＝∠PAD－∠PAB＝60°－∠PAB＝∠BAC－∠PAB＝∠PAC.
∵AD＝AP、AB＝AC、∠DAB＝∠PAC,∴△DAB≌△PAC,∴BD＝CP＝4.
∵AD＝AP、∠DAP＝60°,∴△DAP是等边三角形,∴∠APD＝60°、DP＝AP＝2.
∵BD＝4、DP＝2、BP＝2√3,∴DP^2＋BP^2＝BD^2,∴∠BPD＝90°.
∵∠APD＝60°、∠BPD＝90°,∴∠APE＝30°,又AE⊥PE,∴AE＝AP/2＝1、PE＝√3,
∴BE＝BP＋PE＝2√3＋√3＝3√3.
∴AB^2＝AE^2＋BE^2＝1＋（3√3）^2＝1＋27＝28.
∴AB＝2√7.
∴△ABC的边长是2√7.