题目

讨论函数的连续性
讨论函数f(x)=lim (1-x^2n/1+x^2n)x的连续性,若有间断点,判别其类型.
n→∞
在所给答案中f(x)=-x |x|>1
0 |x|=1
x |x|

提问时间：2020-11-24

答案

这个是数学大纲解析的习题呢~解这一类的题,其实有个套路,就是先通过求极限将f(x)的表达式求出来就可以解啦~步骤如下：
1、先求lim(1-x^2n/1+x^2n)x ,（n->∞）:
f(x)= 0 ,当 x=0 或 x=±1
x ,当 0≤x＜1 或 x＜-1
-x ,当 -1＜x≤0 或 x＞ 1 （共3种情况）
2、接着我们来找间断点：
通过上述的区间我们看出,“关键的点”有三个：0、1、-1；
(1)先看0：通过上面的区间可以看出,limf(0)=limf(x) (x->0+)=limf(x) (x->0-)
所以f(x)在（-1,1）都是连续的,0不是间断点；
(2)再看1：f(1)=0 ,limf(x)(x->1-)=x=1 ,limf(x)(x->1+)=-x=-1
f(1)≠limf(x)(x->1-)≠limf(x)(x->1+);所以x=1为第一类间断点;
(3)同理,-1：f(-1)=0 ,limf(x)(x->-1-)=x=-1 ,limf(x)(x->-1+)=-x=1
f(-1)≠limf(x)(x->-1-)≠limf(x)(x->-1+);所以x=-1为第一类间断点;
3、结论：x=1和x=-1是第一类间断点；f(x)的连续区间为(-∞,-1)、(-1,1)、(1,+∞)