题目

等比和等差数列的公式推导
怎么推导Sn

提问时间：2020-11-24

答案

(1)等比.
a(n)=aq^(n-1).
若q=1,则a(n)=a,s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=a+a+...+a=na.
证明.归纳法.
n=1时,s(1)=a(1)=a.结论成立.
设n=k时,有s(k)=ka,则
n=k+1时,有s(k+1)=s(k)+a(k+1)=ka+a=(k+1)a,结论成立.
因此,由归纳法知,q=1时,a(n)=a,s(n)=na.
若q不为1,则
a(n)=aq^(n-1),s(n)=a[q^n-1]/(q-1).
证明.归纳法.
n=1时,s(1)=a(1)=a,结论成立.
设n=k时结论成立,则s(k)=a[q^k-1]/(q-1)
n=k+1时,
s(k+1)=s(k)+a(k+1)=a[q^k-1]/(q-1) + aq^k = a[q^k-1]/(q-1) + a(q-1)q^k/(q-1) = a[q^k-1+q^(k+1)-q^k]/(q-1) = a[q^(k+1)-1]/(q-1),结论成立.
因此,由归纳法知,q不为1时,a(n)=aq^(n-1),s(n)=a[q^n-1]/(q-1).
(2)等差.
a(n)=a+(n-1)d,s(n)=na+n(n-1)d/2.
证明.归纳法.
n=1时,s(1)=a(1)=a,结论成立.
设n=k时结论成立,则s(k)=ka+k(k-1)d/2.
n=k+1时,
s(k+1)=s(k)+a(k+1)=ka+k(k-1)d/2 + a+kd = (k+1)a + k(k-1)d/2 + 2kd/2 = (k+1)a + k[k-1+2]d/2=(k+1)a + k(k+1)d/2,结论成立.
因此,由归纳法知,a(n)=a+(n-1)d.s(n)=na+n(n-1)d/2.