题目

如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F，试判断EF与AP的数量关系，并说明理由．

提问时间：2020-11-23

答案

法一：EF=AP．理由：
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
连接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，

AD＝CD ∠PDA＝∠PDC PD＝PD

，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC，
∴EF=AP．
法二：延长FP交AB于点G，
则四边形PEBG是正方形，
∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°，
∵AG=AB-BG，PF=FG-PG，
∴AG=PF，
在△APG和△FEP中，

AG＝FP ∠PGA＝∠EPF PG＝PE

，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴AP=EF．

由PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，可得四边形PECF是矩形，根据矩形的性质，可得EF=PC，然后证得△PAD≌△PCD，即可得PA=PC，则可证得EF=AP．

本题考点：正方形的性质．

考点点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．