题目

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD＝BC＝

2

，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）若M是侧棱PB中点，求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．

提问时间：2020-11-23

答案

证明：（1）在梯形PDCB中，PA⊥AD又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PA⊂面PAD∴PA⊥面ABCD（2）由（1）得：PA⊥平面ABCD又CD⊥AD，∴CD⊥PD∴∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角在Rt△PAD中，PA=AD=1，∴∠PDA=45°...

（1）由已知中AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD我关键所在根据面面垂直的性质，即可得到PA⊥面ABCD；
（2）由（1）中结论，及二面角的定义可得∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角，解Rt△PAD即可得到二面角P-DC-B的大小；
（3）作CE∥AD交AB于E点，连ME，可证得∠CME是CM与平面PAB所成的角，解三角形CME即可得到直线CM与平面PAB所成角的正弦值．

本题考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，（2）的关键是证得∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角，（3）的关键是得到到∠CME是CM与平面PAB所成的角．